<t->
          Matemtica
          6 Ano 
          Ensino Fundamental

          Edwaldo Bianchini          

          Impresso Braille em 9 partes, 
          na diagramao de 28 linhas por 
          34 caracteres, 6 edio, da 
          Editora Moderna 2006.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa 
          Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Matemtica (Ensino 
          Fundamental) 6 ano 
          (C) Edwaldo Bianchini 2006 

          Coordenao editorial: 
          Juliane Matsubara Barroso

          Edio de texto: 
          Dario Martins de Oliveira, 
          Maria Ceclia da Silva 
          Veridiano, Maria 
          Tereza Galluzzi, William Raphael Silva

          Assistncia Editorial:
          Ktia Takahashi, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA MODERNA LTDA.
          Rua Padre Adelino, 758 -- 
          Belenzinho
          So Paulo -- SP -- Brasil
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501
          ~,www.moderna.com.br~,
<P>
                               I
<R+>
Sumrio

Terceira Parte

 CAPTULO 3 -- Estudando 
  figuras geomtricas 
 1. A Geometria na 
  arte ::::::::::::::::::::: 257
 2. Um pouco de 
  histria ::::::::::::::::: 258
 3. As figuras planas e as 
  no planas ::::::::::::::: 260
 4. Os slidos 
  geomtricos :::::::::::::: 262
 Corpos redondos e 
  poliedros :::::::::::::::: 263
 5. Conhecendo um pouco 
  mais sobre poliedros ::::: 267
 Prismas ::::::::::::::::::: 270
 Pirmides ::::::::::::::::: 270         
 6. Noes primitivas ::::: 273                     
 O ponto e a reta :::::::::: 274           
 O plano ::::::::::::::::::: 278      
<P> 
 CAPTULO 4 -- 
  Divisibilidade                                 
 1. Mltiplos e
  divisores :::::::::::::::: 287                                
 2. Os mltiplos de um 
  nmero ::::::::::::::::::: 291                                
 3. Os divisores de um 
  nmero ::::::::::::::::::: 297
 4. Critrios de 
  divisibilidade ::::::::::: 309                                
 5. Nmeros primos :::::::: 334                                
 Decomposio em fatores 
  primos ::::::::::::::::::: 340                                
 6. O mximo divisor 
  comum :::::::::::::::::::: 347
 7. O mnimo mltiplo 
  comum :::::::::::::::::::: 357                                

 Para saber mais                                  
 Sequncias numricas :::::: 304
<85>
<tmatemtica 6 ano>
<t+257>
CAPTULO 3 -- Estudando 
  figuras geomtricas

1. A Geometria na arte 

_`[{quadro "Composio"_`]
 Legenda: *Composio*, de 
  Milton Dacosta, 1942. leo sobre tela, 61 cm "74 cm.
<R->

  Podemos encontrar, muitas vezes de forma implcita, conceitos matemticos 
(da Geometria em especial) nas diferentes manifestaes 
artsticas, como em algumas pinturas e esculturas, e na Arquitetura. 
  Veja, por exemplo, o quadro de Milton Dacosta, que representou 
diferentes figuras geomtricas em sua obra *Composio*, de 1942. 
  Voc encontrar outros exemplos neste livro. Neste captulo, estudaremos 
caractersticas importantes das figuras usadas por 
 Dacosta nessa obra. 
 
<86> 
<P>
2. Um pouco de histria 

  Originalmente, Geometria foi o nome que os gregos deram  parte da Matemtica que estudava 
a medida (metria) da terra (geo). Trata-se do ramo da Matemtica em que so estudadas 
as figuras e suas caractersticas. 
  Fazer afirmaes quanto  origem da Geometria  bastante arriscado, porque no h registros 
escritos de pocas anteriores a 6.000 anos antes de Cristo. 
  O historiador grego Herdoto (sculo V a.C.) atribuiu aos egpcios a origem da Geometria, 
pois acreditava que ela tenha surgido da necessidade de fazer novas medidas de terras depois
de cada inundao provocada pelo rio 
 Nilo.
  Quando o rio Nilo transbordava, as demarcaes de algumas propriedades
desapareciam e, assim que o rio voltava ao seu leito normal, era preciso demarcar novamente os 
limites dessas terras. Esse trabalho era feito pelos "estiradores de cordas" (agrimensores),
que utilizavam os registros feitos antes das inundaes
e os conhecimentos que tinham de Geometria.
  Alguns historiadores, porm, acham mais provvel que os estudos 
geomtricos tenham surgido na classe sacerdotal egpcia, 
que, como classe privilegiada, dispunha de tempo para reflexes 
desse tipo. 
  A ideia mais aceita atualmente  de a Geometria ter nascido 
tanto da necessidade de resolver problemas prticos quanto da 
observao e reflexo sobre nmeros, grandezas e formas, surgidas 
do sentimento esttico e da curiosidade intelectual prprios 
do ser humano. 
  Por volta de 300 a.C., o estudioso grego Euclides organizou 
todo o conhecimento geomtrico desenvolvido at ento em 
um texto didtico chamado *Os elementos*. Por mais de dois milnios, 
esse texto orientou o ensino desse importante campo 
de estudo. 

<R+>
_`[{foto descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Capa da primeira traduo inglesa 
da obra *Os elementos*, de Euclides, 
de 1570. 
<R->

<87>
3. As figuras planas e as no 
  planas

  Ao observar os objetos  nossa volta, percebemos que eles apresentam as mais variadas formas.
Os brinquedos a seguir so exemplos de objetos que tm caractersticas diferentes.
  A cada um desses objetos, podemos associar diferentes figuras geomtricas.

<R+>
_`[{foto de um jogo de damas_`]
 Legenda:  superfcie do tabuleiro do jogo de damas, 
podemos associar a figura de um quadrado.
s peas do jogo, podemos
<P>
  associar a figura de um cilindro.

 _`[{foto de um bilboqu_`]
 Legenda: s peas do bilboqu, podemos
associar as figuras de uma esfera e um cone.
<R->

  Nos objetos anteriores, a superfcie do tabuleiro do jogo de damas d a ideia de figura geomtrica
plana, enquanto as peas do jogo e o bilboqu lembram figuras geomtricas no
planas. Veja a explicao do professor sobre esses tipos de figura:

<R+>
_`[{duas figuras_`]
 1: O professor aponta para uma mesa onde esto uma pipa, uma carta, uma foto e 
um pedao de linha. O professor fala: "Estes objetos so muito finos! Podemos 
at imaginar que no tm altura, isto , que so bidimensionais e que esto
totalmente em contato com o tampo da mesa. Eles do a ideia de figuras geomtricas planas.
 2: Na mesa, agora, h um livro, um vaso, uma mola e uma CPU de computador. 
O professor diz: "J estes objetos so tridimensionais: tm comprimento, largura e altura. 
Eles no esto totalmente em contato com o tampo da mesa e, por isso, do a ideia de
figuras geomtricas no planas.

<88>
4. Os slidos geomtricos 
<R->

  Algumas figuras geomtricas no planas so chamadas de slidos geomtricos. 
  As diferentes formas presentes na Arquitetura do a ideia de slidos geomtricos, como podemos 
observar nestas fotos: 

<R+>
_`[{cinco fotos seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Cubo d'gua. Complexo aqutico onde foram dispu-
<P>
  tadas as Olimpadas de Pequim, em 2008, na China.
 Legenda 2: Uma das unidades do Tribunal de Justia de So Paulo (TJSP), SP.
 Legenda 3: Auditrio do Parque do Ibirapuera em So Paulo, SP, 2008.
 Legenda 4: Catedral de Nossa Senhora da Glria, em Maring, PR, 1995.
 Legenda 5: Estao de msseis, popularmente conhecidas como "Bolas de Golfe", em North Yorkshire, Inglaterra, 2002. 
<R->

<89> 
Corpos redondos e poliedros 

  Devido a algumas caractersticas dos slidos, como o fato de rolar ou no com facilidade, 
podemos destacar dois grupos: 

<R+>
Corpos redondos 

_`[{trs fotos: um balde, uma bola e um peso em forma de cone_`]

Poliedros 

_`[{trs fotos: dois dados, uma pirmide e blocos retangulares_`]
<R->

  Os corpos redondos so slidos geomtricos que tm forma arredondada, por isso rolam 
com facilidade. Veja alguns exemplos de corpos redondos: 

<R+>
_`[{desenho de um cilindro, um cone e uma esfera_`]
<R->

  Os poliedros, por sua vez, so slidos geomtricos que no tm forma arredondada, por isso 
no rolam com facilidade. Veja alguns exemplos de poliedros _`[{no adaptados_`]. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 1- Para cada poliedro, desenhe em seu caderno uma figura plana que represente a parte da 
sua superfcie vista de cima. 

_`[{quatro desenhos no adaptados_`] 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<90>
 2- Registre em seu caderno quais dos objetos 
a seguir do ideia de um slido. 
E quais do ideia de um poliedro? 

 Vela -- Dado -- Bandeirinha de festa junina 
-- Bolas de gude -- Caixa de presente 

 3- Cada slido representado no quadro a 
seguir  identificado por um nmero. Use 
essa identificao para classificar esses 
slidos como corpo redondo ou poliedro. Organize 
essas informaes em uma tabela. 

_`[{oito desenhos no adaptados_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 4- Veja o que Paulo e Pedro fizeram com copos 
descartveis: 

 Paulo contornou com lpis a boca do copo 
sobre uma folha de papel. 
 Pedro pintou toda a parte externa do copo 
com tinta guache. 

 a) Qual deles construiu uma figura plana? 
 b) Pedro pintou a superfcie de um poliedro? 

<P>
 5- Veja o objeto e sua sombra. Qual deles 
representa uma figura plana? 

_`[{foto de uma haste com uma bandeira na ponta e
a sombra que elas fazem em um campo gramado_`]

<91> 
 5. Conhecendo um pouco mais sobre poliedros 
<R->

  A palavra poliedro  uma composio de *poli* com *edro*. 
  Nos dicionrios encontramos: 
<R+>
  poli- [do grego *polys*] 
  Elemento de composio que significa muito. 
  -edro [do grego *hdra*]
  Elemento de composio que significa face. 
<R->
  Portanto, poliedro significa "muitas faces". 

Elementos de um poliedro 

  Mariana usou um objeto com a forma de um poliedro e carimbou todos os lados desse objeto 
em uma folha de papel esticada sobre a mesa, como mostra a figura abaixo. Nessa folha, ficaram 
impressas figuras planas que representam as cinco faces do poliedro. 

<R+>
_`[{figura: Mariana segura uma folha com os desenhos de quatro tringulos e um quadrado_`]
<R->

  No objeto  possvel observar uma linha comum entre duas faces de um poliedro. Essa linha 
comum a duas faces recebe o nome de aresta. O ponto de encontro de trs ou mais arestas 
chama-se vrtice. 
  No poliedro _`[{no adaptado_`], destacamos as faces com azul, as arestas com verde e os 
vrtices com vermelho. 
  Esse poliedro tem: 
<R+>
  5 faces (nem todas esto visveis); 
  8 arestas (nem todas esto visveis); 
  5 vrtices. 
<R->
Distinguindo poliedros 

  Os poliedros so nomeados de acordo com seu nmero de faces. Veja alguns exemplos: 
 Tetraedro: 4 faces 
 Pentaedro: 5 faces 
 Hexaedro: 6 faces 
 Heptaedro: 7 faces 
 Octaedro: 8 faces

<92>
  Muitos poliedros que apresentam o mesmo nmero de faces no possuem a mesma forma.
Os poliedros _`[{no adaptados_`], por exemplo, apresentam o mesmo nmero de faces, porm tm
formas diferentes.
  Observe que todos eles tm 6 faces, portanto so hexaedros, mas cada um possui uma forma,
segundo a qual recebem nomes especiais:
<R+>
  o poliedro I  uma pirmide;
  o poliedro II  um prisma;
  o poliedro III no  nem pirmide nem prisma e no recebe nome especial.
<R->

Prismas

  Os poliedros representados a seguir so denominados prismas.

_`[{quatro figuras no adaptadas_`] 

  Nesses prismas, destacamos as faces que so chamadas de base e as demais so as faces
laterais.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Pirmides

  Observe agora os poliedros abaixo. Eles so denominados pirmides.

_`[{quatro figuras no adaptadas_`] 

  Nas pirmides, as faces pintadas de laranja so chamadas de base e as pintadas de azul so as
faces laterais. As bases das pirmides podem ter formas variadas, j as faces laterais so sempre
triangulares.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<93>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

_`[{para as atividades de 6 a 9, pea orientao ao professor_`]

 6- Desenhe em seu caderno o poliedro cujas faces esto destacadas  direita na tabela _`[{no adaptada_`]. 
 7- Construa uma tabela no caderno como o modelo abaixo e complete-a contando o nmero 
de faces, de vrtices e de arestas dos poliedros I, II, III, IV e V _`[{no adaptados_`]. 

_`[{tabela formada por quatro colunas: poliedro, nmero de faces,
nmero de vrtices e nmero de arestas_`]

<94> 
 8- Das embalagens apresentadas a seguir, identifique em seu caderno quais tm forma de 
prisma e quais tm forma de pirmide. 

_`[{seis embalagens no adaptadas_`]

 9- Identifique, em seu caderno, em cada construo se a parte indicada pela seta vermelha 
tem a forma de prisma, de pirmide ou de nenhum deles. 

_`[{quatro fotos de prdios famosos_`]
 Legenda 1: Conjunto de prdios que fazem parte do *Westin 
  Bonaventure* Hotel em Los 
  Angeles, Califrnia, 1994. 
 Legenda 2: Congresso Nacional, em Braslia (DF). 
 Legenda 3: Museu do *Louvre*, em Paris, 1997. 
 Legenda 4: *Big Ben*, em 
  Londres. 
<R->
  
<95> 
<P>
6. Noes primitivas 

  O ponto, a reta e o plano so noes aceitas sem definio na Geometria, por isso so 
chamadas noes primitivas. Essas noes podem ser associadas, de maneira intuitiva, 
a diferentes objetos que nos rodeiam. 

<R+>
_`[{trs fotos seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Cada estrela que vemos no cu d a ideia de um ponto. 
 Legenda 2: Um raio de luz d a ideia de uma reta. 
 Legenda 3: O espelho d'gua de um lago d a ideia de um plano. 
<R->

  Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho d'gua do lago do ideia de ponto, reta e plano, 
respectivamente, isto , so objetos que representam as noes primitivas da Geometria.

<96>
O ponto e a reta 

  Graficamente, um ponto pode ser representado como o e  indicado por letras maisculas 
do nosso alfabeto: 
<F->  
 A         D         L
 o         o         o
Ponto A  Ponto D  Ponto L 
<F+>

  Quando h uma coleo com um ou mais pontos, temos uma figura. Por exemplo: 

<F->
  o
Legenda: Figura com 1 ponto. 

  o   o

  o   o
Legenda: Figura com 4 pontos. 

<P>
<F->
       .,a,.
   .,a       a,.
~k               {, 
   a,.       .,a 
       a,.,a
<F+>
Legenda: Figura com infinitos 
  pontos. 

  Uma reta tambm  uma figura com infinitos pontos. 
  Graficamente, uma reta pode ser representada da seguinte maneira: 

 <:::::::::::>

  Uma reta  indicada por letras minsculas do nosso alfabeto: 

<F->  
   u            s 
                   
     Reta u         Reta s 
                     
                      
<F+>

  Uma reta no tem comeo nem fim nem espessura. 
<P>
  Veja uma reta e alguns de seus pontos: 

<F->
   E    G C    M   Z  H
::o::::o:o::::o:::o::o::> t
<F+>

  Os pontos E, G, C, M, Z e H pertencem  reta *t*. Nesse caso, dizemos que esses pontos so 
colineares. 

  Trs ou mais pontos so colineares quando pertencem a uma mesma reta.             

  Observe os pontos A, B e C que esto representados na figura a seguir. 

<F->
        r 
         
 B    o C   
 o    
      
    o A
    
   
<F+>

  Os pontos A, B e C no so colineares, pois no h 
reta que contenha esses trs pontos. 

<97>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 10- Escreva em seu caderno que elementos geomtricos nos sugere:
 a) um fio de linha bem esticado?
 b) a marca deixada por uma ponta de lpis num papel?
 c) o tampo de uma mesa?
 d) uma corda de violo esticada?
 e) uma folha de papel sulfite grudada na parede?

 11- Observe seu redor e anote no caderno o que pode dar a ideia de um ponto, de uma reta e
de um plano.
<R->

<P>
O plano

  Graficamente, um plano pode ser representado da seguinte maneira:

<F->
          cccccccccccccccccm     
                          
                         
                        
      ----------------- 
<F+>

  Um plano  indicado por letras minsculas do alfabeto grego: ^a (alfa), ^b (beta), 
 ^g (gama), ^d (delta), 

<F->
    ccccccccccm     ccccccccccm     
          ^a             ^b 
                           
                          
----------     ---------- 
<F+>

  Alm disso, tem infinitos pontos.
<P>
  Veja um plano e alguns de seus pontos:

<F->
         ccccccccccccccccccccm     
                S       ^g 
        J      o           
        o                
                    B    
          P        o  
          o           
  -------------------- 
<F+>

  Os pontos J, S, P e B pertencem ao plano ^g.
  Por pertencerem a um mesmo plano, dizemos que esses pontos so coplanares.
  Em um plano existem infinitas retas.
  Na figura _`[{no adaptada_`], representamos um plano e algumas
das retas que esto nesse plano. Por estarem em um
mesmo plano, essas retas tambm so chamadas de
coplanares.

<98>
<P>
EXERCCIOS PROPOSTOS

<R+>
 12- Considerando as retas e os pontos assinalados 
na figura abaixo, responda s 
questes no caderno: 
 a) Quais os pontos que pertencem  reta r? 
 b) Quais os pontos que no pertencem  
reta r? 
 c) Quais os pontos que pertencem  reta s? 
 d) Quais os pontos que no pertencem  
reta s? 
 e) Quais os pontos que pertencem s retas 
r e s? 

<F->
      ^~              ~^    
          ^~  A  ~^ r    
              {o{         
           o^    ^o s    
       ~^ B      C  ^~
               D          
               o         
<F+>

<P>
 13- Considerando as retas e os pontos assinalados na figura
  abaixo, responda s questes em seu caderno. 

<F->
         A                N  
      ^~o   C           o.,a   
          ^~o          .,a     
              ^~ P .,a     
                 {o{          
            o~^    a,.  B
         ~^ D          ao 
   o~^                    a,.
 ~^M                      
<F+>

 a) Quais pontos so colineares com A e B? 
 b) Quais pontos so colineares com M e N? 

_`[{para as atividades 14 e 15, pea orientao ao professor_`]

 14- Observe a pirmide quadrangular _`[{no adaptada_`] e 
responda: o ponto E est no mesmo plano 
de A, B e C? E o ponto A, est no mesmo 
plano de D, C e E? 
 
 15- De acordo com a figura _`[{no adaptada_`], copie no caderno 
as afirmaes verdadeiras. 

 a) Os pontos A, B, C e D so coplanares. 
 b) Os pontos A, B, C e F no so coplanares. 
 c) Os pontos D, C, F e G so coplanares. 
 d) Os pontos B, C, F e G so coplanares. 

 16- Marque no caderno trs pontos distintos 
e no colineares. Quantas retas podemos 
traar de forma que cada uma passe por 
dois desses pontos? 

EXERCCIOS COMPLEMENTARES 

 17- Desenhe em seu caderno algumas figuras 
geomtricas planas que voc 
conhece e coloque o nome das que voc 
souber. Converse com um colega para 
confrontar as respostas. Completem os no-
mes que faltam. Se for necessrio, peam ajuda ao professor. 
 18- Com massa de modelar, construa algumas 
figuras geomtricas no planas. Junte-se 
a um colega e conversem sobre as caractersticas 
dessas figuras. Registrem no 
caderno suas concluses. 

 19- A figura _`[{no adaptada_`] mostra uma folha de zinco 
que, depois de ser curvada, soldada e fechada 
com tampa e fundo, deu origem a 
um recipiente. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Qual  a forma desse recipiente?

<99>
 20- Com massa de modelar, construa alguns
modelos de poliedros, separando-os em trs
grupos: s prismas, s pirmides e nem
prismas nem pirmides. Caso algum grupo
fique sem elementos, construa o que falta.
 21-  possvel uma pirmide ter 3 vrtices? Por
qu? Converse com um colega e comparem
suas respostas.

 22- Procure em casa ou na escola um objeto
que possa representar:
 a) um slido;
 b) uma figura plana;
 c) um corpo redondo;
 d) um poliedro;
 e) uma pirmide;
 f) um prisma.
<R->

  Registre no caderno tudo o que encontrar.
Em seguida, rena-se com um colega e
comparem o que cada um fez.

<R+>
<P>
 23- Determine o nmero de faces (F), de vrtices
(V) e de arestas (A) destes poliedros:

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
 24- Junte-se a um colega e respondam s seguintes
questes:
 a) Se as bases de um prisma tm 7 vrtices
cada uma, quantas arestas tem esse
prisma? E quantas faces laterais?
 b) Se uma pirmide tem 12 vrtices, quantos
lados tem sua base? Quantas faces
laterais tem essa pirmide? E quantas
arestas?
 c) Um prisma e uma pirmide tm o mesmo
nmero de vrtices. Se a pirmide
tem 20 faces, quantas faces tem o
prisma?

<P> 
 25- Considerando um ponto de um plano,
quantas retas desse plano passam por
esse ponto: apenas uma, apenas duas ou
infinitas?
 26- Marque dois pontos distintos no caderno.
Com uma rgua trace todas as retas que
passam por esses dois pontos ao mesmo
tempo. Quantas retas foi possvel
traar?

               oooooooooooo

<100> 
<P>
CAPTULO 4 -- Divisibilidade 

1. Mltiplos e divisores 
<R->

  Dona Ana  proprietria de uma papelaria. Sua filha Roberta gosta 
de ajudar a arrumar os materiais. Ela costuma colocar canetas coloridas 
nos potes que ficam expostos na vitrine. 
  As canetas vm embaladas em pacotes com 5 unidades e Roberta 
quer saber a quantidade de canetas que est colocando no pote. 
  Para cada pacote de 5 canetas que arruma, Roberta anota em um 
papel a quantidade de pacotes. 

<R+>
 n.o de pacotes: 1  2  3  4  5 
 n.o de canetas: 5 10 15 20 25
<R->

<101> 
  O nmero de canetas que Roberta anota no papel  o resultado da multiplicao do nmero 
de pacotes que ela j arrumou por 5 (quantidade de canetas existentes em cada pacote). 

<R+>
 1 pacote :> 1"5=5 
 2 pacotes :> 2"5=10 
 3 pacotes :> 3"5=15 
 4 pacotes :> 4"5=20 
 5 pacotes :> 5"5=25 
 e assim por diante. 
<R->

  Ao fazer essas multiplicaes, Roberta verifica a quantidade de canetas que j colocou nos 
potes da vitrine. 
  Os nmeros obtidos -- 5, 10, 15, 20, 25,  -- so denominados mltiplos de 5. 
  Um nmero natural ser mltiplo de outro se for o resultado da multiplicao desse nmero 
por algum nmero natural. 
  Quando dividimos esses mltiplos por 5, obtemos resto zero, ou seja, a diviso  exata. 
Observe: 55=1 resto 0; 105=2 resto 0; 155=3 resto 0; 205=4 resto 0;  255=5 resto 0; etc. 
  Considerando, por exemplo, a diviso 155=3, dizemos que 15  divisvel por 5. 
  Tambm podemos dizer que 5  divisor ou fator de 15, pois a diviso de 15 por 5  exata 
(resto zero). 
  Um nmero natural  divisvel por outro quando a diviso do primeiro pelo segundo  exata. 
  Aps organizar tudo, dona Ana perguntou a Roberta quantas canetas havia no pote. 
Roberta respondeu: "34"! 
  Dona Ana estranhou a resposta e comentou: "No pode ser; 34 no  mltiplo de 5, pois no 
existe nmero natural que multiplicado por 5 d 34". 
  Dona Ana tem razo. Veja: 345=6 resto 4.
  De fato, a diviso no  exata. Deu resto 4. Nesse caso, dizemos que 34 no  divisvel por 5 
ou, ainda, que 5 no  divisor de 34. Por isso, 34 no  mltiplo de 5. 

<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

1- Quais so as sentenas verdadeiras? Justifique 
sua resposta em seu caderno. 
 a) 35  mltiplo de 7. 
 b) 180  divisvel por 40. 
 c) 7  divisor de 42. 
 d) 24  mltiplo de 144. 
 e) 252  divisvel por 12. 
 f) 10  divisor de 5. 
 g) 69  mltiplo de 31. 
 h) 510  divisvel por 34. 
 i) 17  divisor de 34. 

 2- Dados os nmeros 144, 210, 320, 392 e 
540, verifique quais deles so mltiplos de 
36. Justifique sua resposta. 
 3- Verifique se o nmero 724  divisvel por 8. Por qu? 

 4- D pelo menos um exemplo de um nmero 
natural em cada item: 
 a) mltiplo de 15; 
 b) divisor de 15. 

<102> 
<P>
2. Os mltiplos de um nmero
<R->

  Para encontrar um mltiplo de um nmero, basta multiplicar esse nmero por um nmero 
natural qualquer. Por exemplo, multiplicando 5 por 7 obtemos 35, que  mltiplo de 7. 
Com a sequncia dos nmeros naturais, podemos obter tantos mltiplos de 7 quantos quisermos: 

 0"7=0 
 1"7=7 
 2"7=14 
 3"7=21 
 4"7=28 
 5"7=35
 e assim por diante.

  Uma menina fala: "Os mltiplos de 7 so todos os produtos
de 7 por qualquer nmero natural." 
  Da mesma forma, podemos encontrar: 
<R+>
  os mltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32,  
  os mltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60,  
  os mltiplos de 22: 0, 22, 44, 66, 88,  

OBSERVAES 

 1) Se *n*  um nmero natural diferente de zero, ento: 
  esse nmero tem infinitos mltiplos; 
  zero  mltiplo desse nmero; 
  esse nmero  mltiplo de si mesmo. 

 2) O nmero zero constitui um caso especial. O zero  o nico mltiplo de zero, pois 
qualquer nmero natural multiplicado por zero resulta zero. No entanto, no podemos 
dizer que um nmero  divisvel por zero porque no existe diviso por zero. 

EXERCCIOS PROPOSTOS 

 5- Quais so os nmeros naturais mltiplos 
do nmero 1? 
 6- Determine os cinco primeiros mltiplos de: 
 a) 3  
 b) 6 
 c) 12
 d) 20 

 7- Determine: 
 a) os mltiplos de 9 menores que 50; 
 b) os mltiplos de 6 maiores que 20; 
 c) os mltiplos de 14 entre 40 e 90; 
 d) os mltiplos de 10 entre 12 e 50; 
 e) os mltiplos de 11 maiores que 66 e menores que 111. 

 8- Um professor pediu a cada aluno que dissesse 
um mltiplo de 4 em ordem crescente. 

_`[{os alunos respondem: "zero", "quatro", "oito"_`]
<R->

<P>
   Assim, sem pular nenhum nmero, cada 
um dos 35 alunos da classe teve sua vez 
de falar. Qual foi a resposta que o dcimo 
aluno deu? E o vigsimo? 

<103>
<R+>
 9- Os escoteiros disputam uma gincana. 
Veja como Diego foi desafiado por 
Guilherme. 

_`[{tirinha em trs quadrinhos. Diego e Guilherme, conversam,
enquanto caminham pelo acampamento_`]
<R->

  -- Quantos escoteiros h em seu grupo? 
  --  um mltiplo de 7 menor que 60. 
  -- Nossa, como voc est enigmtico! 
  -- Contando os escoteiros do meu grupo de 6 em 6 sobram 3. 
  -- Ento responda: quantos so? 
  -- Eu j sei quantos so os escoteiros do seu grupo. 
<P>
  Descubra voc tambm quantos so os escoteiros do grupo de Guilherme. 

<R+>
 10- Em uma sala de aula o nmero de alunos 
presentes  mltiplo de 8. Esse nmero 
 maior que 30 e menor que 40. Quantos 
alunos esto na sala? 
 11- Escrevendo em seu caderno os mltiplos 
de 35, descubra o menor nmero que 
devemos somar a 90 para obtermos um 
mltiplo de 35.
 12- Qual  o menor nmero que devemos 
subtrair de 90 para obtermos um mltiplo 
de 35? 
 13- Em 1.705, Edmund Halley (1656-1742) 
previu que o cometa visto em 1.531, 1.607 
e 1.682 retornaria em 1.758. O cometa 
retornou realmente como previsto e, posteriormente, 
recebeu o nome do cientista. 
Sabendo que o perodo da rbita do cometa 
Halley  de 76 anos, qual ser o primeiro 
ano do sculo XXI em que esse cometa 
voltar a ser visto? 

 14- Rena-se com um colega e usem uma calculadora. 
No se esqueam de registrar os 
clculos e as concluses no caderno. Obtemos 
mltiplos consecutivos de um nmero 
natural quando multiplicamos esse nmero 
por nmeros naturais consecutivos. 
 a) Obtenham dez mltiplos consecutivos 
de 2. Algum desses mltiplos termina 
em 1, 3, 5, 7 ou 9? Com quais algarismos 
esses mltiplos terminam? 
 b) Qualquer nmero natural que termina 
em 0, 2, 4, 6 ou 8  mltiplo de 2?  
divisvel por 2? 
 c) Obtenham oito mltiplos consecutivos 
de 5. Com quais algarismos eles 
terminam? 
 d) Qualquer nmero natural que termina 
em 0 ou 5  mltiplo de 5?  divisvel 
por 5? 
<P>
 e) Obtenham seis mltiplos consecutivos de 
10. Com que algarismo eles terminam? 
 f) Qualquer nmero natural que termina 
em 0  mltiplo de 10?  divisvel 
por 10? 

<104>
3. Os divisores de um nmero 
<R->

  J vimos que todo nmero natural  mltiplo de si mesmo. Por exemplo, 12  mltiplo de 12 
porque 1"12=12. 
  Podemos observar ainda que: 121=12 e 1212=1.
  Como as divises de 12 por 1 e de 12 por 12 so exatas, conclumos: 1 e 12 so divisores de 12. 
  Um fato como esse ocorre com todos os nmeros naturais diferentes de zero, ou seja: 
  Todo nmero natural diferente de zero tem como divisores o nmero 1 e ele mesmo. 
<P>
  Observe agora como Ivan e 
 Natlia fizeram para encontrar os outros divisores de 12. 

Resoluo de Ivan: 

  "J sei que 1 e 12 so divisores de 12. Para encontrar os outros 
divisores, fao as seguintes operaes: 122=6 resto 0; 123=4 resto 0; 124=3 resto 0; 125=2 resto 2;
126=2 resto 0; 127=1 resto 5; 128=1 resto 4; 129=1 resto 3; 1210=1 resto 2; 1211=1 resto 1.
  Logo, os divisores de 12 so: 1, 2, 3, 4, 6 e 12."

Resoluo de Natlia: 

  "Como os divisores de um nmero tambm so chamados de fatores, vou 
escrever todas as multiplicaes entre nmeros naturais que resultam em 12: 1"12=12; 2"6=12; 3"4=12. 
<P>
  Como no h mais nenhuma multiplicao entre nmeros naturais 
que resulta em 12, os divisores de 12 so: 1, 2, 3, 4, 6 e 12." 
 
  De acordo com as duas resolues, conclumos que os divisores de 12 so: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 

<R+>
OBSERVAES 

  O zero no  divisor de nenhum nmero natural *n* no nulo, pois no h nmero 
natural que multiplicado por zero resulta em *n*. 
  O maior divisor de um nmero natural  o prprio nmero. Desse modo, o nmero 
de divisores de um nmero diferente de zero  finito. 

<105>
<P>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 15- Responda s questes a seguir em seu 
caderno: 
 a) Qual  o nmero que  divisor de qualquer 
nmero natural? 
 b) Qual  o nmero que nunca  divisor 
de um nmero natural no nulo? 

 16- Determine os divisores de: 
 a) 11  
 b) 18  
 c) 24 
 d) 25
 e) 32 
 f) 90
 
 17- Quais so os divisores de 40 que tambm 
so divisores de 60? 
 18- Voc j reparou que os laboratrios preparam 
remdios para serem tomados a cada 6, 8 ou 
12 horas? Por que ser que eles no sugerem 
doses de 5 em 5 horas, por exemplo? 

 19- Determine os nmeros naturais que so: 
 a) divisores de 36; 
 b) divisores de 42; 
 c) divisores de 36 e tambm de 42. 

 20- Lucas e Francisco confeccionaram fichas 
de cartolina contendo nmeros naturais. 
Enquanto Lucas fez fichas usando os 
dez primeiros mltiplos de 15, Francisco 
escreveu todos os divisores de 120. As 
fichas foram embaralhadas e, sem ver os 
nmeros, Beatriz pegou aleatoriamente 
nove fichas com os nmeros 8, 24, 30, 
30, 40, 60, 75, 90 e 120. 
 a) Quantas fichas foram confeccionadas? 
 b) Dentre as fichas que Beatriz no pegou, 
que fichas contm o mesmo nmero 
dos que j saram? 

 21- Mriam tem 90 fotos para colar em seu lbum. 
Sabendo que cada pgina deve conter 
a mesma quantidade de fotos, responda s 
questes abaixo em seu caderno. 
 a) Quais sero as possveis quantidades 
de fotos de cada pgina se o lbum tiver 
mais de 10 e menos de 50 pginas? 
 b) Se o lbum tiver 15 pginas, quantas 
fotos ela poder colar em cada pgina? 
 c) Ela poder colar 4 fotos em cada pgina? 
Justifique sua resposta. 

 22- Rena-se com um colega, acompanhem o 
raciocnio e no se esqueam de registrar 
as respostas e as concluses no caderno. 
 a) 42  um nmero divisvel por 7 porque 
42=6"7. E o nmero 28,  divisvel 
por 7? Por qu? 
 b) Copie a sentena a seguir substituindo y
pelo nmero que torna as igualdades 
verdadeiras. 

(42+28)=(6"7+y"7)= 
  =6+y"7 
 c) (42+28)  divisvel por 7? Por qu? 
 d) Que propriedade da multiplicao foi 
usada na ltima igualdade do item *b*? 
 e) Escolham dois nmeros divisveis por 
13. A soma desses nmeros  divisvel 
por 13? Por qu? 

<106> 
Pense mais um pouco... 

_`[{figura: dois alunos conversam_`]
 -- Um nmero  chamado de perfeito quando a 
soma de seus divisores, excluindo ele mesmo, 
 igual ao prprio nmero.
 -- J entendi! O nmero 6, por exemplo, 
 perfeito, pois seus divisores so 1, 2, 3 e 6 e, 
excluindo o 6, temos 1+2+3=6. 

<R->
  Agora  sua vez! 
  Verifique se o nmero 28 tambm  
perfeito. Justifique sua resposta. 

Para saber mais

Sequncias numricas 

  Alice escreve na agenda suas notas bimestrais 
de Portugus, Histria, Matemtica, 
Geografia, Cincias e Espanhol. 

<R+>
_`[{port: 5, Hist: 7, Mat: 7, Geo: 10, C: 5, Esp: 9_`]
<R->

  Podemos escrever as notas de Alice em 
uma ordem, obtendo uma sequncia: 5, 7, 7, 10, 5, 9.
  Essa sequncia de nmeros  um exemplo de sequncia numrica. 
  Veja outro exemplo. 
  Jorge trabalha em um supermercado. Ele  encarregado de arrumar 
as latas de suco. Observe como Jorge faz: 

<P>
<R+>
_`[{desenho adaptado. O ** representa uma lata_`]
<R->

<F->
               
              
             
            
            
          
<F+>

<107>
  Contando de cima para baixo, podemos obter, 
a partir da quantidade de latas de cada fileira, 
a seguinte sequncia numrica: 1, 3, 5, 7, 9, 11. 
  Cada termo dessa sequncia, a partir do 
segundo,  o anterior mais 2, ou seja: 3=1+2; 
5=3+2; 7=5+2; 9=7+2; 11=9+2. 
  Veja mais alguns exemplos de sequncias 
numricas. 

<R+>
 0, 2, 4, 6, 8, 10, 
  12,  
<R->

<P>
  Essa  a sequncia dos nmeros pares. 
  Ela  infinita. 
  Como 0=0"2, 2=1"2, 4=2"2, 6=3"2 e assim 
por diante, dizemos que cada termo dessa 
sequncia  mltiplo de 2. 
  Dessa forma, essa sequncia tambm  
conhecida como sequncia dos mltiplos de 2. 
  Essa sequncia  crescente, pois cada 
nmero, a partir do segundo,  maior que o anterior. 

 1, 2, 3, 4, 6, 12. 

  Essa  a sequncia dos divisores de 12. 
  Ela  finita. 

 9, 7, 5, 3, 1. 

  Essa sequncia  decrescente e tambm 
 finita. 
  Ento, podemos notar que: 
<R+>
  Quando escrevemos nmeros colocados 
em certa ordem, temos uma 
sequncia numrica. 
  Cada nmero de uma sequncia numrica 
 um termo dessa sequncia. 
  Sequncias numricas podem ser infinitas ou no. 

Agora  com voc! 

 1. Determine a sequncia: 
 a) dos nmeros pares menores que 10; 
 b) dos divisores de 36; 
 c) dos mltiplos de 4. 

 2. Qual  a sequncia dos nmeros mpares? Nessa sequncia, qual  o termo anterior 
ao 91? E o posterior? 

 3. Os termos de cada uma das sequncias a seguir obedecem a uma certa ordem. Considerando 
essa ordem, determine o prximo termo. 
  6, 11, 16, 21, ... 
  26, 22, 18, 14, 10, ... 
  3, 6, 12, 24, 48, ... 

 4. Uma das atividades do famoso matemtico Pitgoras era fazer clculos usando pedrinhas. 
Uma delas consistia em formar sequncias numricas como: 
<R->
  
<F->
!:::    
l 1_    1
h:::j                     

!::::::::
l 1 _ 1 _
r::::w::::w  1+3=22
l 1 _ 1 _
h::::j::::j

!::::::::::::
l 1 _ 1 _ 1 _
r::::w::::w::::w
l 1 _ 1 _ 1 _  1+3+5=32
r::::w::::w::::w
l 1 _ 1 _ 1 _
h::::j::::j::::j

<P>
!::::::::::::::::
l 1 _ 1 _ 1 _ 1 _
r::::w::::w::::w::::w
l 1 _ 1 _ 1 _ 1 _
r::::w::::w::::w::::w    
l 1 _ 1 _ 1 _ 1 _  
r::::w::::w::::w::::w
l 1 _ 1 _ 1 _ 1 _
h::::j::::j::::j::::j

1+3+5+7=42
<F+>

  Como ele formava o 72 com as pedrinhas? E com a adio de nmeros naturais? 

<108> 
4. Critrios de divisibilidade 
<R->

  Vimos anteriormente que para saber se um nmero natural  divisvel por outro basta efetuar 
a diviso entre eles e verificar se ela  exata. Essa  a regra geral. Entretanto, em alguns casos 
podemos descobrir se um nmero  divisvel por outro sem ter de efetuar a diviso. Vamos ver 
como isso  possvel estudando os critrios de divisibilidade. 

Divisibilidade por 2 

  Considere as divises: 182=9 resto 0; 302=15 resto 0; 452=22 resto 1; 
792=39 resto 1; 862=43 resto 0. 
  Observe que, quando dividimos nmeros pares por 2, o resto  zero e, quando dividimos nmeros 
mpares por 2, o resto  1. Isso acontece sempre que dividimos um nmero natural por 2. 
  Veja outros exemplos: 
<R+>
 a) 1.798  divisvel por 2 e, portanto,  par. 
 b) 2.005 no  divisvel por 2 e, portanto, no  par. 
 c) 147 no  divisvel por 2 e, portanto, no  par. 
<R->

  Um nmero natural  divisvel por 2 somente quando ele  par.        

<P>
Divisibilidade por 5 

  Considere as divises: 1305=26 resto 0; 755=15 resto 0;
5605=112 resto 0; 1345=26 resto 4; 4.0155=803 resto 0; 5.1045=1.020 resto 4. 
  Observe que 130, 75, 560 e 4.015 so divisveis por 5, mas 134 e 5.104 no so divisveis por 
5. Note, ainda, que esses nmeros divisveis por 5 terminam em 5 ou 0 enquanto, na diviso 
no exata, isso no acontece. 
  Veja outros exemplos: 
<R+>
 a) 210  divisvel por 5, pois 210 termina em zero. 
 b) 1.345  divisvel por 5, pois 1.345 termina em 5. 
 c) 148 no  divisvel por 5, pois 148 no termina em zero nem em 5. 
<R->

  Um nmero  divisvel por 5 somente quando termina em zero ou em 5.  

<109>
Divisibilidade por 10 

  Considere as divises: 50410=50 resto 4; 82010=82 resto 0; 4.80010=480 resto 0;
14510=14 resto 5; 1.23010=123 resto 0.

  Observe que 820, 4.800 e 1.230 so divisveis por 10, mas 504 e 145, no. 
  Nessas divises, somente os nmeros que terminam em zero so divisveis por 10. 
  Veja mais alguns exemplos: 
<R+>
 a) 250  divisvel por 10, pois termina em zero. 
 b) 1.370  divisvel por 10, pois termina em zero. 
 c) 827 no  divisvel por 10, pois no termina em zero. 
<R->

  Um nmero  divisvel por 10 somente quando termina em zero. 

<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 23- Considerando os nmeros 26, 73, 95, 100, 
250 e 3.524, identifique, sem efetuar a 
diviso, aqueles que so divisveis por: 
 a) 2; 
 b) 5;
 c) 10. 

 24- A escola Vamos Estudar realizou uma 
feira de Cincias para todos os anos 
do ensino fundamental. Em um dos estandes 
na qual havia trabalhos na rea de 
Matemtica, um dos alunos propunha 
para os visitantes a seguinte questo: 
<R->

  Sabemos que certo nmero  divisvel por 10. Podemos
afirmar com certeza que esse nmero tambm  divisvel   
por 2 e por 5? Por qu?     
  Como voc responderia a essa questo? 

<R+>
 25- Qual  o resto da diviso do nmero 98.543 
por 2? E por 5? E por 10? 
 26- Um nmero par pode ser divisvel por 5? 
Justifique sua resposta. 
 27- Um nmero mpar pode ser divisvel por 
10? Justifique sua resposta. 
 28- Em um grande edifcio comercial de 20 andares 
h vrios elevadores. Um deles s para nos 
andares cujo nmero  mltiplo de 2; um outro s 
para nos andares cujo nmero  mltiplo de 5. 
Considerando o trreo como andar zero, em quais andares 
se pode pegar qualquer um desses dois elevadores? 
<110> 
 29- Qual o maior nmero de trs algarismos 
que  divisvel por 5? E qual o maior deles 
divisvel por 2? E por 10? 

 30- Determine em seu caderno o menor nmero 
que devemos somar a 413 para obtermos 
um nmero: 
 a) divisvel por 2; 
 b) divisvel por 5; 
 c) divisvel por 10. 

 31- Responda s questes a seguir. 
 a) Todo nmero divisvel por 10  divisvel 
por 5? Por qu? 
 b) Todo nmero divisvel por 5  divisvel 
por 10? Por qu? 

 32- Rena-se com um colega, acompanhem 
o raciocnio e no se esqueam de registrar 
as respostas e as concluses no 
caderno. 
 a) 130  divisvel por 2 porque 130=65"2. 
E 130  divisvel por 5? Por qu? 
 b) Copie a sentena a seguir em seu caderno 
substituindo y pelos nmeros que tornam as igualdades verdadeiras. 
130=13.5.y=13.y.2=
  =13.y 
 c) 130  divisvel por (5.2)? Por qu? 
<P>
 d) Que propriedade da multiplicao foi 
usada na ltima igualdade do item *b*? 
 e) Escolham um nmero que seja divisvel 
por 2 e por 5. Esse nmero  divisvel 
por 10? Por qu? 
<R->

Divisibilidade por 3 

  Considere as divises: 
2583=86 resto 0. 

  Observe: 
<R+>
  258  divisvel por 3; 
  a soma dos valores dos algarismos do nmero 258 
 igual a 2+5+8=15, que  um nmero divisvel por 3. 
<R->

5.3223=1.774 resto 0 

  Observe: 
<R+>
  5.322  divisvel por 3; 
  a soma dos valores dos algarismos 
do nmero 5.322  igual a 5+3+2+2=12,
que  um nmero divisvel por 3. 
<R->
6253=208 resto 1 

  Observe: 
<R+>
  625 no  divisvel por 3; 
  a soma dos valores dos 
algarismos do nmero 625  igual a 
6+2+5=13, que  um nmero no 
divisvel por 3. 

  Veja outros exemplos: 
 a) 156  divisvel por 3 (1+5+6=12, que  divisvel por 3). 
 b) 1.370 no  divisvel por 3 (1+3+7+0=11, que no  divisvel por 3). 
<R->

  Um nmero natural  divisvel por 3 somente
quando a soma dos valores de seus algarismos       
divisvel por 3.         

<111>
Divisibilidade por 6 

  Observe os exemplos a seguir. 
<R+>
 a) J sabemos que o nmero 42  divisvel por 2 e por 3. 
Ele tambm  divisvel por 6, pois 7"6=42. 
 b) O nmero 64  divisvel por 2, mas no  divisvel por 3. 
Alm disso, ele tambm no  divisvel por 6, pois a diviso 
de 64 por 6 no  exata. 
 c) O nmero 75  divisvel por 3, mas no  divisvel por 2. 
Ele tambm no  divisvel por 6. 
<R->

  Um nmero natural  divisvel por 6 somente quando
 divisvel por 2 e por 3.                   

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 33- Sem efetuar a diviso, identifique quais dos 
seguintes nmeros so divisveis por 3: 
 a) 23  
 b) 48 
 c) 120 
 d) 576 
 e) 8.223
 f) 9.075
 
 34- O nmero 30'fyh tem cinco algarismos. 
Determine para que valores de y esse nmero : 
 a) divisvel por 5; 
 b) divisvel por 3. 
  Justifique suas respostas. 

 35- Dentre os nmeros 213, 324, 172, 612, 
744, 720 e 1.804, identifique quais so 
divisveis por: 
 a) 2
 b) 3 
 c) 6 

 36- Observando o esquema _`[{no adaptado_`], responda s questes a seguir. 
 a) Depois de caminhar pela trajetria correta, 
em que lugar deve ficar cada nmero de 
1 a 20: A, B, C ou D? 
 b) Os nmeros que ficam em A, alm de serem pares e divisveis
<P>
  por 3, so divisveis por qual nmero? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 37- Em um *show* de prmios foi apresentado 
a um dos candidatos o seguinte desafio: 

<R->
  Descubra o maior nmero de trs 
algarismos divisvel por 3 que pode 
ser formado com os algarismos 2, 3, 
6 ou 7 sem repetir nenhum deles. 

  Que resposta d o prmio ao candidato? 
<R+>

 38- Quais so os divisores de 48 que so divisveis 
por 6? 

 39- O terceiro algarismo do nmero 43y  
 desconhecido. Determine quais algarismos 
podem ser colocados no lugar de y 
<P>
  para que o nmero formado seja divisvel: 
 a) por 2; 
 b) por 3; 
 c) por 5; 
 d) por 6; 
 e) por 2 e no por 3; 
 f) por 3 e no por 6. 

<112> 
 40- Um nmero  divisvel por 15 quando divisvel 
por 3 e por 5. Quais dos nmeros a 
seguir so divisveis por 15? 
 a) 135  
 b) 320 
 c) 363 
 d) 510 
 e) 480

 41- Responda em seu caderno e justifique. 
 a) Se um nmero  mltiplo de 2, ento 
ele  mltiplo de 6? 
 b) Se um nmero  mltiplo de 6, ento 
ele  mltiplo de 2? 
<R->

<P>
Divisibilidade por 9 

  Considere as divises: 8469=94 resto 0.
 
  Observe: 
<R+>
  846  divisvel por 9; 
  a soma dos algarismos do 
nmero 846  8+4+6=18, 
que  um nmero divisvel por 9. 
<R->

2.5119=279 resto 0  

  Observe:  
<R+>
  2.511  divisvel por 9; 
  a soma dos algarismos do 
nmero 2.511  2+5+1+1=9, 
que  um nmero divisvel por 9. 
<R->

83.6259=9.291 resto 6  

  Observe: 
<R+>
  83.625 no  divisvel por 9; 
  a soma dos algarismos do 
nmero 83.625  8+3+6+2+5=24, 
que  um nmero no divisvel por 9. 
<R->

  Veja outros exemplos: 
<R+>
 a) 1.566  divisvel por 9 (1+5+6+6=18, que  divisvel por 9). 
 b) 2.002 no  divisvel por 9 (2+0+0+2=4, que no  divisvel por 9). 
<R->

   Um nmero  divisvel por 9 somente quando a soma dos
valores de seus algarismos  um nmero divisvel por 9.   

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 42- Dentre os nmeros apresentados abaixo, 
quais so divisveis por 9? 

486 -- 728 -- 981 -- 1.072 -- 8.874 -- 5.045 
 
 43- No sculo XXI, qual  o primeiro ano divisvel 
por 9? 

 44- Um nmero  divisvel por 18 quando  
divisvel por 2 e por 9. Quais dos nmeros 
a seguir so divisveis por 18? 
 a) 63  
 b) 72  
 c) 390
 d) 756
 e) 810
 f) 8.730 

 45- D exemplo de um nmero de quatro 
algarismos que seja divisvel por 3 e no 
por 9. 

<113>
 46- Em uma gincana de matemtica, a equipe 
vencedora seria aquela que apresentasse, 
antes da outra, cinco nmeros de trs algarismos 
divisveis por 9. A equipe amarela 
saiu na frente com o nmero 135, mas foi a 
azul que ganhou. Veja como a equipe azul 
aproveitou a pista da equipe amarela.

_`[{nmero da equipe amarela: 135; nmeros da 
equipe azul: 153; 315 e 351_`]

<R-> 
  Descubra a estratgia da equipe azul e 
escreva em seu caderno os dois nmeros 
que faltam. 
<R+>

 47- Rena-se com um colega, discutam as 
questes e registrem as respostas no caderno. 
O nmero 567  divisvel por 9, pois 
5+6+7=18, que  divisvel por 9. 
 a) De quantas maneiras podemos escrever 
(5+6+7) apenas mudando a ordem 
das parcelas? A soma continua sendo 
18? Que propriedade da adio garante 
que a soma seja a mesma? 
 b) Quantos e quais nmeros naturais 
de quatro algarismos diferentes, mltiplos 
de 9, podemos escrever com os 
algarismos 5, 6 e 7? Eles tambm so 
mltiplos de 3? 
 c) O nmero 3.456  divisvel por 9? Quantos 
e quais so os nmeros naturais de 
quatro algarismos diferentes, mltiplos de 
9, formados por 3, 4, 5 e 6? Eles tambm 
so mltiplos de 3? 
 d) Se um nmero natural  divisvel por 9, 
ento tambm  divisvel por 3? 

Divisibilidade por 4 

  Considere as divises: 
 2164=54 resto 0 
  216  divisvel por 4.
 4.5244=1.131 resto 0 
  4.524  divisvel por 4.
 2004=50 resto 0 
  200  divisvel por 4.
 7.4164=1.854 resto 0  
  7.416  divisvel por 4. 
 7.6894=1.922 resto 1  
  7.689 no  divisvel por 4. 
 45.2004=11.300 resto 0 
  45.200  divisvel por 4. 

<114>
  As divises anteriores nos le-
 vam a concluir que: 
 216 e 7.416 so divisveis por 4. Verifique que 16 tambm . 
<P>
 4.524  divisvel por 4. Verifique que 24 tambm . 
 7.689 no  divisvel por 4. Verifique que 89 tambm no . 
 200 e 45.200 so divisveis por 4 e terminam em 00. 
<R->

  Um nmero  divisvel por 4 somente quando termina em   
00 ou quando o nmero formado pelos seus dois       
ltimos algarismos  direita  divisvel por 4.            

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 48- Sem efetuar a diviso, verifique quais dos 
nmeros a seguir so divisveis por 4. 
 a) 932 
 b) 1.040 
 c) 2.364 
 d) 842 

 49- Em um restaurante todas as mesas tm 4 
lugares.  possvel que a capacidade desse 
restaurante seja de 314 lugares? E de 308? 
Justifique suas respostas. 
 50- Descubra se  possvel embalar 2.676 xcaras 
em caixas com 4 xcaras cada uma. 
Justifique sua resposta. 

 51- Determine o menor algarismo que deve ser 
colocado no lugar de y para que o nmero 
234.35y seja divisvel: 
 a) por 2; 
 b) por 4; 
 c) por 6; 
 d) por 3, mas no por 6; 
 e) por 5, mas no por 10. 

 52- Dentre os nmeros 122, 132, 225, 360, 
712 e 1.000 identifique aqueles que so divisveis por: 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 6 
 e) 2, 3 e 5 
 f) 3 e 4 

 53- Determine o menor nmero que somado 
a 5.314 resulta em um nmero: 
 a) divisvel por 2; 
 b) divisvel por 3; 
 c) divisvel por 4; 
 d) divisvel por 5; 
 e) divisvel por 6; 
 f) divisvel por 9. 

 54- Qual  o menor nmero natural diferente de 
1 que dividido por 3, 4 ou 5 d sempre resto 1? 
<R->

<115>
Pense mais um pouco... 

  Os rapazes 1, 2, 3 e 4 namoram as garotas A, B, C e D. 
  Observe atentamente os textos e os desenhos e diga qual  o nome 
das quatro garotas e quem so seus respectivos namorados. 

<P>
<R+>
_`[{desenho de quatro rapazes e quatro garotas_`]
 Rapaz 1: est em frente ao telefone 5756.
 Rapaz 2: est em frente ao telefone 8134.
 Rapaz 3: est em frente ao telefone 9392 e diz: "Sofia  minha namorada."
 Rapaz 4: est em frente ao telefone 5478 e diz: "Namoro a loira Marilda."
 Garota A:  loira. 
 Garota B: tem cabelos castanhos e fala: "Eu no me chamo 
  Cristina." 
 Garota C:  morena e diz: "Cristina e Joana tm um encontro marcado."
 Garota D:  loira e fala: "O nmero do telefone do meu namorado  divisvel por quatro." 
 
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 55- Escreva em seu caderno os mltiplos de 
7 entre 5 e 45. 
<P>
 56- Na fila da bilheteria de um teatro 
h menos de 50 pessoas. Contando essas pessoas 
de 6 em 6 sobram 3. Contando de 7 em 7, tambm 
sobram 3. Quantas pessoas esto na fila nesse momento? 
 57- Ana possui de 100 a 150 CDs. Agrupando-os 
de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre 
resta um. Quantos CDs Ana tem? 
 58- Um nmero mpar  maior que 30 e menor 
que 50. Ele tambm  mltiplo de 11. Que nmero  esse? 
 59- Sem efetuar a diviso, verifique se o nmero 
34.524  divisvel por 6. Justifique sua resposta. 

<116>
 60- Determine o menor nmero de trs algarismos que: 
 a)  divisvel por 2; 
 b)  divisvel por 3. 

<P>
 61- Determine o menor nmero de trs algarismos distintos que seja: 
 a) divisvel por 2; 
 b) divisvel por 3; 
 c) divisvel por 5; 
 d) divisvel por 6. 

 62- Das sentenas abaixo, descubra as que 
so falsas e corrija-as em seu caderno. 
 a) O nmero 260  divisvel por 2, por 3 e por 5. 
 b) O nmero 2.040  divisvel por 2, mas no por 3. 
 c) O nmero 3.065  divisvel por 5, mas no  divisvel por 3. 
 d) O nmero 18.756  divisvel por 4 e por 9. 

 63- Uma pessoa deseja efetuar, com o auxlio de 
uma calculadora, a diviso de um nmero 
por 36, mas a tecla 6 est com defeito. 
Como ela poderia efetuar essa diviso? 

 64- Dividindo-se um nmero por 10, restou 5. 
 a) Esse nmero  divisvel por 2? Por qu? 
 b) Esse nmero  divisvel por 5? Por qu? 

 65- Escreva um nmero par que seja divisvel 
por 5. Esse nmero tambm  divisvel por 
10? Por qu? 

 66- D exemplo de um nmero: 
 a) que seja divisvel por 5 e no seja divisvel por 2; 
 b) que seja divisvel por 2 e no seja divisvel por 5. 

 67- Em uma fila h menos de 100 pessoas. Quando as 
contamos de 7 em 7, sobra 1 pessoa; quando as 
contamos de 6 em 6, sobram 3; e quando as contamos de 
5 em 5, sobram 2. Quantas pessoas h nessa fila? 
 68- Como  possvel, usando uma calculadora, 
efetuar a multiplicao de um nmero por 
12 se a tecla 1 no funciona? 
 69- Que algarismo deve ser colocado  esquerda 
de 283 para que se obtenha um nmero 
divisvel por 9? 

 70- Considere o nmero 518. Trocando a ordem 
dos seus algarismos, obtemos o nmero 
815. Subtraindo 518 de 815, temos: 

 815-518=297 
<R->

  Verifique se 297  mltiplo de 9. Em 
seguida, escreva outro nmero de trs 
algarismos. Trocando a ordem dos algarismos, 
que nmero voc obtm? Agora, 
com os nmeros que voc obteve, subtraia 
o menor do maior. Verifique que o resto  
divisvel por 9. 

5. Nmeros primos 

  Existem nmeros naturais que tm somente dois divisores distintos (diferentes). O nmero 
5  um deles. Seus divisores so apenas o 1 e o 5. 

  Nmero primo  todo nmero que tem apenas dois divisores 
naturais distintos: o 1 e o prprio nmero.                

  So nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,  
  Existem tambm nmeros naturais que tm mais de dois divisores distintos. O nmero 12  
um deles. Seus divisores so 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 
  Todo nmero natural que tem mais de dois divisores distintos  chamado de nmero composto. 
  Por exemplo, os nmeros 4, 9, 10, 15, 94 e 105 so nmeros compostos. 
  O nmero 1, no entanto, no  primo nem composto, pois ele tem um nico divisor natural, 
que  ele mesmo. 

<117>
<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 71- Classifique os nmeros a seguir em primo ou composto. 
 a) 14  
 b) 11  
 c) 17 
 d) 21
 e) 296
 f) 37 

 72- Observe a folha de calendrio do ms de maro de um determinado ano. 

<F->
MARO

sg t qr qn sx sb dm
-- -- -- -- 1 2 3
4 5 6 7 8 9 aj
aa ab ac ad ae af ag 
ah ai bj ba bb bc bd
be bf bg bh bi cj ca
<F+>

 a) H alguma segunda-feira representada por um nmero primo? 
<P>
 b) Quantos fins de semana (sbado e domingo) existem nesse ms cujos dois 
dias so representados por nmeros primos? 
 c) Qual dia da semana desse ms  representado pela maior quantidade de 
nmeros primos? 

 73- Existe um nmero que  par e  primo ao 
mesmo tempo. Que nmero  esse? Existem 
outros nmeros nessas condies? 
 74- Existe algum mltiplo de 3 que seja primo? 
 75- Existe algum mltiplo de 3 diferente de 3 
que seja primo? Justifique sua resposta. 
 76- A soma dos algarismos de um nmero  27. 
Esse nmero  primo? Por qu? 

 77- Determine o menor divisor primo de: 
 a) 64 
 b) 75 
 c) 85 
 d) 49 

 78- Qual  o menor nmero de dois algarismos 
que  primo? E qual  o maior? 

 79- Observe os nmeros a seguir e faa o que 
se pede. 

7, 10, 35, 41, 75 e 77 

 a) Determine todos os divisores de cada 
nmero. 
 b) Construa uma tabela com duas colunas 
e sete linhas, registrando os nmeros e 
a quantidade de divisores. 
 c) Construa um grfico de colunas correspondente 
a essa tabela. 
 d) Qual desses nmeros apresenta maior 
quantidade de divisores? 
 e) Dentre os nmeros apresentados, existem 
nmeros primos? Quais? Justifique 
sua resposta. 

 80- Rena-se com um colega, leiam o texto 
a seguir e faam, no caderno, o que se pede. 
<R->
  Em 1742, da troca de cartas entre dois 
matemticos, Goldbach e Euler, surgiu a 
conhecida conjectura de Goldbach: "Todo 
nmero par, maior que dois,  a soma de 
dois primos". 

  Veja alguns exemplos: 
 100=17+83; 
 138=37+101;
 974=313+661.

<R+>
 a) Vocs sabem o que  conjectura? Pesquisem 
em um dicionrio e escrevam 
seu significado. 
 b) Verifiquem se essa conjectura vale para 
os dez primeiros nmeros pares maiores 
do que 2. 
 c) Mostrem que essa conjectura vale para 
200. H mais de uma resposta? 
 d) Cada um escolhe um nmero par de 
trs algarismos para o outro verificar 
essa conjectura. 

<118>
<P>
Pense mais um pouco... 

_`[{pedro fala: "Minha idade hoje  um nmero 
primo e h dois anos tambm era." Maria completa: "H seis anos 
a idade de Pedro era um nmero mpar e um quadrado perfeito."_`] 
<R->

  Sabendo que Pedro  casado e tem menos de 50 anos, descubra 
a idade de Pedro hoje. 

Decomposio em fatores primos 

  Todo nmero natural composto pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores 
diferentes de 1. 
  Veja, por exemplo, o nmero 36. Vamos decomp-lo em um produto de dois fatores diferentes de 1: 
 36=2"18 ou 
 36=4"9 ou 
 36=6"6 

<P>
  Vamos prosseguir, decompondo os fatores que so nmeros compostos tambm em um 
produto de dois fatores, at que fiquem somente fatores primos: 

 36=2"18
  18=2"9
 36=2"2"9
  9=3"3
 36=2"2"3"3
  2"2=22
  3"3=32
 36=22"32
 ou
 36=4"9
  4=2"2
  9=3"3
 36=2"2"3"3= 
  2"2=22
  3"3=32
 36=22"32	 
 ou
 36=6"6
  6=2"3
  6=2"3
<P>
 36=2"3"2"3
  2"2=22
  3"3=32
 36=22"32

  Quando um nmero est decomposto em um produto em  
que todos os fatores so nmeros primos, dizemos que  
esse nmero est decomposto em fatores primos.           

<119>
  Dessa forma, o produto 22"32  a decomposio em fatores primos do nmero 36. 
Observe que pode haver diferentes maneiras de se decompor um nmero natural em um 
produto de dois ou mais fatores, mas a decomposio em fatores primos  nica. 
  A decomposio de um nmero natural em fatores primos pode ser feita da seguinte maneira: 
<R+>
  divide-se o nmero dado pelo seu menor divisor primo; 
  procede-se da mesma maneira com o quociente obtido at se encontrar o quociente 1. 
<R->
<P>
  Vamos ver alguns exemplos de como decompor o nmero 60 em fatores primos: 

<F->
a) 60 l 2 
    30 l 2
    15 l 3
    5  l 5
    1  l 
<F+>

<R+>
 O menor divisor primo de 60  2; divide-se 60 por 2. 
 O menor divisor primo de 30  2; divide-se 30 por 2. 
 O menor divisor primo de 15  3; divide-se 15 por 3. 
 O menor divisor primo de 5  5; divide-se 5 por 5. 
 Encontramos o quociente 1. 
<R->

  Podemos escrever: 60=2"2"3"5 ou 60=22"3"5. 

<P>
<R+>
b) Tambm podemos efetuar a decomposio do nmero 60 dos seguintes modos: 
<R->

<F->
60 l 3
20 l 2
10 l 5 
2  l 2
1  l

60 l 5
12 l 2
6  l 2 
3  l 3
1  l

60 l 2
30 l 3
10 l 2 
5  l 5
1  l
<F+>
 
  Veja que o resultado  o mesmo: 60=22"3"5. 
  Acompanhe outros exemplos: 
<P>
  Agora, observe a decomposio em fatores primos dos nmeros 180, 98 e 540. 

<F->
180 l 2
90  l 2
45  l 3 
15  l 3
5   l 5
1   l

180=2"2"3"3"5
180=22"32"5

98 l 2
49 l 7
7  l 7 
1  l

98=2"7"7
98=2"72

<P>
540 l 2
270 l 2
135 l 3 
45  l 3
15  l 3
5   l 5
1   l

540=2"2"3"3"3"5
540=22"33"5
<F+>

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 81- Em seu caderno, decomponha os nmeros 
a seguir em fatores primos: 
 a) 120 
 b) 144 
 c) 168 
 d) 225 
 e) 117 
 f) 125 

 82- Um nmero natural decomposto em fatores 
primos  representado assim: 23"32"7. 
  Que nmero  esse? 

 83- A=2"3"11 e B=22"32"5 so as 
decomposies de dois nmeros naturais. 
Calcule A+B. 
<R->

<120>
6. O mximo divisor comum 

  A tabela a seguir mostra o nmero de livros encomendados 
pelas livrarias A, B e C a uma determinada editora. 

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l  Livraria  _  Nmero     _
l             _   de livros  _
r:::::::::::::w::::::::::::::w
l A          _  96         _
r:::::::::::::w::::::::::::::w
l B          _  108        _
r:::::::::::::w::::::::::::::w
l C          _  132        _
h:::::::::::::j::::::::::::::j
<F+>

  O encarregado de preparar as encomendas recebeu 
orientao de colocar o maior nmero possvel de livros em cada pacote de modo que 
<P>
todos os pacotes tivessem a mesma quantidade de livros. 
  Acompanhe o que o encarregado fez para determinar a quantidade de livros 
que deveria colocar em cada pacote. 
  Inicialmente, determinou os divisores naturais de cada um dos nmeros da tabela: 
<R+>
  divisores de 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96; 
  divisores de 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108; 
  divisores de 132: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132; 
<R->
  Os nmeros 1, 2, 3, 4, 6 e 12 so divisores de 96, 108 e 132 
ao mesmo tempo, ou seja, eles so divisores comuns de 96, 108 e 132. 
  Assim, para que os pacotes tivessem a mesma quantidade de livros o encarregado poderia 
colocar 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 livros em cada pacote. 
  Como foi determinado que cada pacote deveria ter o maior nmero possvel de livros, ento 
cada pacote deveria conter 12 livros. 
  O que o encarregado fez foi encontrar o maior divisor comum de 96, 108 e 132. 

  O maior divisor comum de dois ou mais nmeros  chamado de mximo divisor comum.       

  No exemplo dos pacotes de livros, o mximo divisor comum de 96, 108 e 132  12, que se 
indica por mdc(96, 108, 132)=12. 

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 84- Determine: 
 a) os divisores de 60; 
 b) os divisores de 72; 
 c) os divisores comuns de 60 e 72; 
 d) o maior desses divisores comuns. 

<P>
 85- Determine: 
 a) mdc(8, 10)  
 b) mdc(40, 50)
 c) mdc(9, 12, 15)
 d) mdc(16, 56, 80)
 
 86- Duas ripas de madeira, uma com 120 centmetros 
de comprimento e outra com 180, 
devem ser cortadas em pedaos iguais para 
montar uma pequena estante. Sabendo que 
os pedaos devem ser do maior tamanho possvel, 
qual  o comprimento de cada pedao? 

 87- Em uma classe h 28 meninos e 21 meninas. 
A professora quer formar grupos s de meninas ou s 
de meninos, com a mesma quantidade de alunos e 
usando a maior quantidade possvel. 
 a) Quantos alunos ter cada um desses grupos? 
 b) Quantos grupos de meninas podem ser formados? 
 c) E quantos grupos de meninos? 

<121>
Encontrando o mdc pela 
  decomposio em fatores primos
<R->

  Vimos como calcular o mdc de dois ou mais
nmeros naturais conhecendo os seus divisores.
 Vejamos agora outro processo chamado de
processo da decomposio em fatores primos, que
facilitar o clculo do mdc.
  Esse processo consiste, como diz o prprio nome,
em decompor os nmeros em fatores primos.
Como exemplo, vamos calcular o mdc dos nmeros
280 e 300. Inicialmente, decompomos os nmeros em
fatores primos:

<F->
280 l 2
140 l 2
70  l 2 
35  l 5
7   l 7
1   l

280=2"2"2"5"7
280=23"5"7

300 l 2
150 l 2
75  l 3 
25  l 5
5   l 5
1   l

300=2"2"3"5"5
300=22"3"52
<F+>

  Os fatores primos comuns de menor expoente so 22 e 5 ( preciso considerar os fatores
comuns que apresentem o menor expoente para que eles sejam divisores dos dois nmeros).
Multiplicando esses fatores, obtemos o mdc entre eles.
  Ento: mdc(280, 300)=
 =22"5=4"5=20
  Ainda como exemplo vamos calcular o mdc dos nmeros 120, 252 e 150.
<P>
<F->
120 l 2
60  l 2
30  l 2 
15  l 3
5   l 5
1   l

252 l 2
126 l 2
63  l 3 
21  l 3
7   l 7
1   l

150 l 2
75  l 3
25  l 5
5   l 5
1   l

120=23"3"5
252=22"32"7
150=2"3"52
mdc(120, 252, 150)=2"3=6
<F+>

<P>
OBSERVAO

  Dois ou mais nmeros que tm o mximo divisor comum entre eles igual a 1 so
chamados de nmeros primos entre si.
  Por exemplo, 8 e 15 so primos entre si, pois o mdc(8, 15)=1. Observe:
<R+>
  divisores de 8: 1, 2, 4, 8 
  divisores de 15: 1, 3, 5, 15
<R->
  Note que o nico divisor comum  o 1. Isso acontece sempre que os nmeros forem
primos entre si.

<122>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

88- Dois nmeros decompostos em fatores 
primos so escritos da seguinte maneira: 
24"33"52"11 e 32"53"7 

  Qual  o mximo divisor comum 
 entre esses nmeros? 

<P>
89- Considerando a=23"3"5, b=22"32"7 e c=24"
  "32"7, calcule: 
 a) mdc(a, b)  
 b) mdc(a, c)
 c) mdc(b, c)
 d) mdc(a, b, c)
 
 90- Aplicando a decomposio em fatores 
primos, determine o mdc entre os nmeros: 
 a) 32 e 48 
 b) 60 e 72 
 c) 75 e 125 
 d) 70, 90 e 120 
 e) 198, 126 e 54 
 f) 28, 70 e 84 

 91- Em uma loja de tecidos, a balconista Carla 
conversa com o gerente Augusto: 
<R->

   -- Seu Augusto, temos dois finais de peas do mesmo 
tecido. 
 Uma tem 156 centmetros de comprimento e
a outra, 234 centmetros. O que eu fao? 
<P>
  -- Corte em retalhos, todos do mesmo comprimento. Responde o gerente. 
  -- Sim, mas de qual comprimento? Pergunta Carla.
  -- Do maior comprimento possvel. Responde Augusto.
  -- Carla pensou, pensou, e conseguiu determinar 
com exatido o comprimento de cada retalho. 

  Determine esse comprimento. 

<R+>
 92- Verifique se em cada caso os nmeros so 
primos entre si. Justifique sua resposta. 
 a) 25 e 30 
 b) 40 e 21 
 c) 7 e 11 
 d) 28 e 35 

 93- Na Escola Comeo, o 6 ano A, com 
48 alunos, o 6 B, com 36, e o 6 C, com 
30, organizaram uma competio que 
contou com a participao de todos os 
alunos. Cada turma formou suas equipes. 
Todas as equipes tinham o mesmo 
nmero de alunos e o maior nmero 
possvel deles. 
 a) Quantos alunos participaram de cada equipe? 
 b) Qual  o nmero total de equipes? 

 94- Alexandre  o irmo mais velho de Regina 
e Guilherme. Regina tem 12 anos 
e Guilherme, 10. As idades dos trs 
irmos so nmeros primos entre si. 
Determine a idade de Alexandre sabendo 
que ela  um nmero mltiplo de 7 
e menor que 25. 

<123> 
7. O mnimo mltiplo comum 
<R->

  Considere a seguinte situao: 
  Em uma pasta h determinado nmero de folhas de papel sulfite. 
Quando agrupamos essas folhas em pacotes de 12 ou de 15 no sobra 
nem falta nenhuma folha. Vamos calcular qual  o menor nmero de 
<P>
folhas que satisfaz essas condies. 
  Inicialmente, determinamos os mltiplos de cada um desses nmeros. 
<R+>
  mltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132,  
  mltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135,  
<R->
  Os nmeros que so mltiplos de 12 e de 15 ao mesmo tempo chamam-se mltiplos comuns 
de 12 e 15. So eles: 0, 60, 120,  
  Dos mltiplos comuns, diferentes de zero, o menor nmero  o 60. Assim, o menor nmero 
de folhas  o 60. 

  O menor mltiplo comum de dois ou mais nmeros, diferente de zero,
 chamado de mnimo mltiplo comum.     

  No exemplo das folhas da pasta, vimos que o mnimo mltiplo comum 
<P>
de 12 e 15  60, que se indica por mmc(12, 15)=60. 

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 

 95- Determine: 
 a) os mltiplos do nmero 6; 
 b) os mltiplos do nmero 9; 
 c) os mltiplos comuns dos nmeros 6 e 9; 
 d) o menor desses mltiplos comuns, diferente de zero. 

 96- Em certo pas as eleies para presidente 
ocorrem a cada 6 anos e para senador, 
a cada 4 anos. Em 2004 essas eleies 
coincidiram. Determine os anos das quatro 
prximas vezes em que elas voltaro a 
coincidir. 

 97- Determine: 
 a) mmc(8, 10) 
 b) mmc(40, 50) 
 c) mmc(2, 6, 9) 
 d) mmc(4, 8, 12) 

 98- De uma rodoviria, parte um nibus da 
empresa X a cada 20 minutos e um nibus 
da empresa Y a cada 45 minutos. Supondo 
que esses dois nibus partem juntos s 8 
horas da manh, depois de quantos minutos 
os nibus das duas empresas partiro 
juntos novamente? 

 99- Na fila em que fiquei para comprar ingresso 
para assistir a um filme havia 33 pessoas na 
minha frente. Notei que a cada 3 pessoas 
uma usava alguma pea de roupa branca, a 
cada 5 uma usava culos e a cada 4 uma estava 
com um saquinho de pipoca nas mos. 
Determine quantas pessoas dessa fila: 
 a) estavam com uma pea de roupa branca e usavam culos. 
 b) estavam com uma pea de roupa branca e estavam comendo pipoca. 
 c) estavam comendo pipoca e usavam culos. 
<P>
 d) estavam com uma pea de roupa branca, usavam culos e estavam comendo pipoca. 

<124>
 100- O Z da Cantina gosta de complicar as coisas. 
Quando lhe perguntaram sua idade, ele respondeu: 
<R->

  "Tenho mais de 40 anos, menos de 50 e 
minha idade  um mltiplo de 3 e de 8". 
Qual  a idade dele? 

Encontrando o mmc pela 
  decomposio em fatores primos 

  Vimos como calcular o mmc de dois ou mais nmeros naturais conhecendo os mltiplos 
de cada um desses nmeros. Existem, porm, outros processos que permitem calcular o mmc 
entre dois ou mais n-
<P>
meros naturais. Vamos ver dois desses processos. 

Decompondo cada nmero 
  separadamente 

  Esse processo consiste em decompor cada nmero em fatores primos. 
  Como exemplo, vamos determinar o mnimo mltiplo comum de 280 e 300. 
  Inicialmente, decompomos cada nmero em fatores primos: 

<F->
280 l 2
140 l 2
70  l 2 
35  l 5
7   l 7
1   l

280=23"5"7

<P>
300 l 2
150 l 2
75  l 3 
25  l 5
5   l 5
1   l

300=22"3"52 
<F+>

  Multiplicamos os fatores primos comuns e no comuns e, entre os fatores com bases iguais, 
escolhemos aquele que apresente maior expoente, uma vez que procuramos o mltiplo de 280 
e 300 ao mesmo tempo. 
  Ento, mmc(280, 300)=
 =23"3"52"7= 
 =8"3"25"7=4.200 

Decomposio simultnea 

  Podemos calcular o mmc de dois ou mais nmeros naturais decompondo-os simultaneamente 
em fatores primos. 
<P>
  Vamos determinar o mnimo mltiplo comum de 280 e 300. 
  Inicialmente, decompomos simultaneamente os nmeros em fatores primos: 

<F->
280, 300 l 2
140, 150 l 2
70,  75  l 2
35,  75  l 3
35,  25  l 5
7,   5   l 5
7,   1   l 7
1,   1   l 
<F+>
 
<R+>
 75 no  divisvel por 2: deve ser repetido. 
 35 no  divisvel por 3: deve ser repetido. 
 7 no  divisvel por 5: deve ser repetido. 
 1 no  divisvel por 7: deve ser repetido. 
 linha de 1: fim da decomposio. 
<R->

  Em seguida, basta efetuar a multiplicao dos fatores obtidos. 
<P>
  Ento, mmc(280, 300)=2"2"
"2"3"5"5"7=4.200 
<125>
  Acompanhe outro exemplo: 
  Inicialmente, vamos decompor simultaneamente os nmeros 120, 252 e 300 em fatores primos. 

<F->
120, 252, 300 l 2
60,  126, 150 l 2
30,  63,  75  l 2
15,  63,  75  l 3
5,   21,  25  l 3
5,   7,   25  l 5
1,   7,   5   l 5
1,   7,   1   l 7
1,   1,   1   l
<F+>

<R+>
 63 e 75 no so divisveis por 2: devem ser repetidos. 
 5 e 25 no so divisveis por 3: devem ser repetidos. 
 7 no  divisvel por 5: deve ser repetido. 
 1 e 7 no so divisveis por 5: devem ser repetidos. 
<P>
 1 no  divisvel por 7: deve ser repetido. 
 linha de 1: fim da decomposio. 
<R->

  Em seguida, basta efetuar a multiplicao dos fatores obtidos. 
  Ento, mmc(120, 252, 300)=
 =2"2"2"3"3"5"5"7=
 =12.600 

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS 
 
 101- Dois nmeros decompostos em fatores primos 
so expressos da seguinte maneira: 23"3"5 
e 22"32"7.
<R->

  Indique o produto de fatores primos que 
representa o mnimo mltiplo comum 
desses nmeros. 

<R+>
 102- Considerando a=23"32, b=22"5 e c=2"33, calcule: 
 a) mmc(a, b)  
 b) mmc(a, c)
 c) mmc(b, c)
 d) mmc(a, b, c)
 103- Calcule pelo processo da decomposio em fatores primos o 
  mnimo mltiplo comum dos nmeros: 
 a) 25 e 30 
 b) 22 e 99 
 c) 36 e 48 
 d) 150, 60 e 75 

 104- Usando o processo da decomposio simultnea 
em fatores primos, determine o 
mnimo mltiplo comum dos nmeros:  
 a) 40 e 60 
 b) 45 e 120 
 c) 72, 45 e 54 
 d) 15, 20 e 25 

 105- Rosa mora sozinha em uma cidade a 200 
quilmetros de distncia de seus sobrinhos 
  Roberto, Mrio e Rosana. Para evitar que a 
tia Rosa fique muito tempo s, seus sobrinhos 
combinaram de visit-la da seguinte 
forma: Roberto costuma visit-la a cada 
12 dias, Mrio, a cada 20 dias, e Rosana, 
a cada 18 dias. Supondo que eles se encontraram 
hoje na casa da tia Rosa, daqui 
a quantos dias ser o prximo encontro? 
 106- Snia trouxe de sua chcara uma cesta de 
laranjas para as irms Flvia e Fabiana. 
  Flvia contou as laranjas de 6 em 6 e no 
sobrou nenhuma, e Fabiana as contou de 
8 em 8 e tambm no sobrou nenhuma. 
Quantas laranjas continha a cesta, sabendo 
que o nmero delas era maior que 90 e 
menor que 100? 
 107- Jlio percorre os 400 metros de uma pista 
de atletismo em 4 minutos e Marcos percorre 
a mesma distncia em 5 minutos. 
Em determinado momento os dois estaro 
juntos. Depois de quantos minutos eles 
voltaro a se encontrar? 
<126> 
 108- De uma rodoviria partem nibus para 
Salvador (BA) a cada 3 horas, para Feira de 
Santana (BA) a cada 6 horas e para Ilhus 
(BA) a cada 8 horas. Em determinado dia, 
s 7 horas da manh, partiram, ao mesmo 
tempo, nibus para essas trs cidades. 
Aps quantas horas essa coincidncia 
voltou a ocorrer? 
 109- Em um stio h uma rua de laranjeiras e, 
ao seu lado, uma rua de limoeiros. Os ps 
de laranja so plantados a cada 4 metros 
e os de limo, a cada 6 metros. No incio 
das ruas, foi plantado um p de laranja na 
frente de um p de limo. De quantos em 
quantos metros isso acontece? 

 110- Uma florista tem 100 rosas brancas e 60 rosas 
vermelhas e pretende montar o maior 
nmero de ramalhetes que contenha, cada 
um, o mesmo nmero de rosas
<P>
  brancas e o mesmo nmero de rosas vermelhas. 
 a) Dessa forma, qual o maior nmero de ramalhetes 
que a florista poder montar? 
 b) Quantas rosas brancas e quantas rosas vermelhas 
ter cada um desses ramalhetes? 

EXERCCIOS COMPLEMENTARES 

 111- Rena-se com um colega e respondam no 
caderno ao que se pede: 
 a) Qual produto  maior: (28.42) ou 
mdc(28, 42).
.mmc(28, 42)? 
 b) Qual produto  menor: (63.36) ou 
mdc(63, 36).
.mmc(63, 36)? 
 c) Comparem os produtos: (21.40) e 
mdc(21, 40).
.mmc(21, 40). 
 d) Escolham dois nmeros naturais *a* e 
*b* no nulos e calculem os produtos: (a.b) e 
  mdc(a, b).mmc(a, b). O que 
<P>
  se pode concluir sobre esses produtos? 
 e) Como vocs fariam para obter o mdc(a, b),
com *a* e *b* no nulos, conhecendo 
os valores de mmc(a, b) e (a.b)? 

 112- Quando um nmero termina em 5, ele: 
 a)  divisvel apenas por 5. 
 b) pode ser divisvel por 2. 
 c) pode ser divisvel por 3. 
 d) pode ser divisvel por 10. 

 113- (Unifacs-BA) O nmero de alunos de uma 
sala de aula  menor que 50. Formando-se 
equipes de 7 alunos, sobram 6. Formando-se
equipes de 9 alunos, sobram 5. Nessas condies, 
se forem formadas equipes de 8 alunos, o 
nmero de alunos que sobra : 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
<P>
 d) 4 
 e) 5 

<127>
 114- (UFMG) O nmero de trs algarismos divisvel ao mesmo 
tempo por 2, 3, 5, 6, 9, 11 : 
 a) 330  
 b) 66  
 c) 676
 e) 990 
 d) 996

 115- Um professor d aulas em uma classe do 
6 ano com 40 alunos e em uma de 7 ano 
com 24 alunos. Ele costuma formar grupos 
com o mesmo nmero de alunos nas duas 
salas. Qual  o maior nmero de alunos 
que cada grupo pode ter? Nessas condies, 
quantos grupos podem ser formados 
no 6 e no 7 ano? 
 116- Misturei 336 balas de coco e 252 balas de 
mel. Quero separ-las em pacotes, fazendo 
com que cada pacote tenha o mesmo tipo 
e a mesma quantidade de balas. Qual o 
maior nmero possvel de balas em cada 
pacote? Quantos pacotes de bala terei? 
 117- A figura _`[{no adaptada_`] mostra a planta
de uma chcara cujas divisas medem 144, 168, 
192 e 216 metros. O proprietrio deseja 
plantar coqueiros ao longo das divisas, de 
modo que a distncia entre cada coqueiro e 
o seguinte seja a maior possvel e que haja 
um coqueiro em cada canto da chcara. 
Calcule quantos coqueiros so necessrios 
para o plantio. 

 118- O mdc de trs nmeros primos entre si : 
 a) o menor deles 
 b) o maior deles 
 c) o nmero 1 
 d) o produto deles 

 119- Um serralheiro precisa cortar duas barras 
de ferro, uma com 180 centmetros de 
comprimento e outra com 150 centmetros 
de comprimento, em pequenos pedaos, todos do mesmo 
tamanho e do maior comprimento possvel. 
 a) Qual deve ser o comprimento de cada pedao? 
 b) Quantos pedaos sero obtidos? 

 120- Determine o menor nmero que, dividido 
por 12, por 15 e por 36, tem sempre resto 
igual a 2. 
 121- Hoje, Joana e Antnia se encontraram 
em um mesmo cinema que costumam 
frequentar. Joana vai a cada 18 dias e 
Antnia, a cada 24 dias. Daqui a quantos 
dias as duas amigas se encontraro novamente 
nesse cinema?  

 122- (PUC-Campinas-SP) Numa linha de produo, 
certo tipo de manuteno  feito 
na mquina A a cada 3 dias, na mquina 
B, a cada 4 dias, e na mquina C, a cada 
6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a 
manuteno das trs mquinas, a prxima 
vez em que a manuteno ocorreu no 
mesmo dia foi em: 
 a) 5 de dezembro 
 b) 6 de dezembro 
 c) 8 de dezembro 
 d) 14 de dezembro 
 e) 26 de dezembro 

 123- (PUC-Campinas-SP) 
  Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro 
A, 1.200 de um livro B e 2.500 de um 
livro C. Deseja-se remet-los a algumas 
escolas em pacotes, de modo que cada 
pacote contenha os trs tipos de livro 
em quantidades iguais e com o maior 
nmero possvel de exemplares de cada 
tipo. Nessas condies, remetidos todos 
os pacotes possveis, o nmero de 
exemplares que restaro no estoque : 
 a) 1.500 
 b) 1.600  
 c) 1.750 
 d) 2.000 
 e) 2.200

 124- Rena-se com um colega e faam o que se pede. 
Cada um de vocs escolhe alguns nmeros 
primos, (repetidos ou no) e, multiplicando-os,
obtm dois nmeros compostos. 
A seguir, devem calcular o mmc e o mdc dos 
nmeros compostos que o outro elaborou. 

<128>
DIVERSIFICANDO 

Jogo dos 21 palitos

 Nmero de participantes: 2 
  jogadores 
 Material: 21 palitos de fsforo 
 Regras: 
  Decide-se quem comea o jogo. 
  Dos 21 palitos colocados sobre a mesa, cada jogador, na sua vez, pega um, 
dois ou trs palitos de fsforo. 
<P>
  Quem pegar o ltimo palito perde. 
 
Responda s questes em seu 
  caderno 

 1. Janana e Carlos esto brincando e o prximo a jogar  Carlos. Observe a ilustrao 
e responda  questo. Quantos palitos Carlos deve retirar para ganhar o jogo? 

_`[{figura: dois jovens esto sentados  mesa. O menino olha atentamente quatro
palitos que esto sobre a mesa_`]

 2. Mrio, ao perceber que tinha 5 palitos na mesa, disse que se tirasse 1 palito ele 
venceria o jogo. A afirmao de Mrio  verdadeira? Justifique sua resposta. 
 3. Em um certo momento do jogo, encontra-se a seguinte situao. Sabendo 
que a prxima a jogar  Vanessa, encontre uma jogada para garantir a vitria 
dela. Explique. 

_`[{figura: um menino e uma menina esto em frente  mesa. A menina observa
oito palitos sobre a mesa_`]

 4. Formem grupos de 3 ou 4 alunos e encontrem uma maneira de sempre vencer. 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte 

